Avoimien matemaattisten ongelmien ratkaisijoille on tarjolla isoja palkkioita — samalla apua saisivat meteorologit, koodarit ja muut matematiikan hyödyntäjät

28.4.2021
”Niinpä tietysti!” on tyypillinen reaktio, kun antiikin ajoista asti pyöritelty ongelma lopulta ratkeaa.

— Ei lähelläkään valmista. 

Näin toteaa akatemiaprofessori Matti Lassas oppialastaan matematiikasta.

Jos kaikki matematiikan ongelmat olisi ratkaistu, olisi erilaisten koodien tuottaminen, sääolosuhteiden ennakoiminen ja maapallon rakenteen tutkiminen huomattavan helppoa. Nyt näihin hankkeisiin ryhtyvä joutuu pähkäilemään ja pakertamaan — ja törmää usein umpikujaan, siis ratkaisemattomaan matemaattiseen ongelmaan.

Ratkaisemattomia matemaattisia ongelmia on olemassa paljon. Kuuluisimmille niistä on omistettu omia verkkosivuja, lukuisia artikkeleita ja palkintoja. Ratkaisija saa matematiikan edistämisen, maineen ja kunnian lisäksi myös huomattavan summan rahaa.

— Lukemattomat ihmiset pyrkivät jatkuvasti ratkomaan näitä ongelmia, Lassas toteaa.

Huomio ei kiehdo

Kilpailu matemaattisen yhteisön sisällä voi olla ajoittain hyvin kovaa, mikä myös haittaa alan kehitystä, Lassas arvioi. Välillä voi käydä niinkin, että tärkeät osaratkaisut jätetään julkaisematta sen toivossa, että koko ongelma voitaisiin ratkaista oman tutkimusryhmän kesken.

Tieteen henki on kuitenkin tiedon julkistaminen ja mahdollisuuden tarjoaminen koko tutkijayhteisölle. Kaikkia kilpailu ei kiinnosta.

— Täytyy muistaa, että raha, maine ja kunnia eivät välttämättä ole parhaita motivaation lähteitä monille matematiikoille, Lassas sanoo.

Esimerkiksi venäläinen matemaatikko Grigori Perelman ei ole vieläkään vastaanottanut hänelle vuonna 2010 Poincarén ongelman ratkaisusta myönnettyä miljoonan dollarin palkintoa.

Poincarén ongelma on puhdasta matematiikkaa, niin kuin moni muukin ratkaisematon ongelma. Puhtaalle matematiikalle on tyypillistä tutkia ongelmia, jotka ovat muotoiltu mahdollisimman elegantisti.

Linssin parissa

Soveltava matematiikka, jonka parissa Lassas työskentelee, pyrkii käyttämään matematiikkaa toisten tieteenalojen asettamien kysymysten ratkaisemiseen.

Se ei tarkoita, etteikö Lassaksen alalla olisi matemaattisia ongelmia ratkaistavaksi. Tällä hetkellä hänen tutkimusryhmänsä painiskelee erityisesti linssin jäykkyyttä koskevan ongelman parissa.

Itse ongelmanasettelu on yksinkertainen: Tarkastellaan läpinäkyvää kappaletta, jonka
taitekerroin, tai esimerkiksi tiheys, vaihtelee. Jos mikään kappaleeseen lähetetty valonsäde ei jää kappaleen sisälle vaan poistuu kappaleesta, voidaanko kappaleen taitekerroin selvittää mittaamalla valonsäteiden kulkuaikoja kappaleen läpi?

Oulussa ollaan

Se, joka keksii ratkaisun linssin jäykkyyttä koskevaan ongelmaan, auttaa samalla monen alan kehitystä eteenpäin.

— Jos tämä ongelma ratkaistaisiin, meidän olisi mahdollista tutkia maapallon tai miksei vaikka Mars-planeetan rakennetta, Lassas sanoo.

— Maapallolla voisimme hyödyntää valonsäteiden sijaan mittaukseen maanjäristysten kulkuaikoja. Näin voisimme yrittää selvittää, onko maapallon vaipan ja ulkoisen ytimen välissä oleva kerros kristallisoitunut.

Koska kerros sisältää metalleja, kysymyksen selvittäminen antaisi paljon tietoa esimerkiksi siitä, miten maapallon magneettikenttä sekä sen etelä- ja pohjoisnapojen paikat muuttuvat ajan kuluessa.

Lassaksen mukaan osaratkaisuja ongelmaan on jo kertynyt kiitettävästi. 

— Se tuntuu vähän samalta, kuin yrittäisimme päästä Helsingistä Rovaniemelle, mutta olisimme onnistuneet saamaan liput vain Ouluun saakka.

No niin tietysti!

Jos palloja pinottaisiin päällekkäin laatikkoon, mikä olisi kaikkein paras tapa asetella ne? Sphere packing on yksi matemaatikko David Hilbertin esittämistä 23 ongelmasta. Se on myös yksi kuuluisa matemaattinen ongelma, jolle on löydetty osaratkaisu.

— Vuonna 1998 ratkaistiin, miten pallot voisi pinota parhaiten päällekkäin kolmiulotteisessa avaruudessa, Lassas toteaa.

Vaikka vastausta kysymykseen oli etsitty lähes sata vuotta, ratkaisu ei saanut matemaattista yhteisöä henkäisemään hämmästyksestä. Usein kuuluu pikemminkin harmistunut oman otsan läimäytys.

— Useille matemaattisille ongelmille tyypillistä on, että ratkaisut ovat lopulta hyvin yksinkertaisia ja lähestulkoon ilmiselviä, Lassas sanoo.

Paras koodi

Lassas näkee matematiikan jatkuvasti rakentuvana polkuna tuleville sukupolville. Harva ymmärtää, minkälainen määrä työtä piitee ratkaisujen takana.

— Matematiikan henki onkin, että me teemme töitä, jotta seuraavat sukupolvet pääsisivät vähemmällä.

Pallojen osalta Lassas toteaa, että ne kannattaa pinota laatikkoon juuri sillä tapaa, kuin kuka tahansa työntekijä marketissa pinoaisi appelsiineja. Kiinnostavaksi ratkaisu muuttuu, kun sitä sovelletaan automaattisesi virheitä korjaavien koodien maailmaan.

— Virheitä korjaavia koodeja voidaan ajatella avaruudessa olevina palloina joiden keskipisteinä ovat viestin symbolien oikeat koodit, Lassas kertoo.

Tällöin virheellisenä vastaanotettu koodi voidaan korjata etsimällä pallo, johon se sisältyy, ja korvaamalla se pallon keskipistettä vastaavalla koodilla.

— Paras koodi voidaan suunnitella tutkimalla sitä, miten mahdollisimman suuri määrä palloja voidaan pakata käytettävissä olevaan tilaan.

Lumipallo liikkelle

Ongelma ratkesi tutkimusvierailulla Montrealissa, liitutaulun äärellä. Kaisa Matomäen ja Maksym Radziwillin tapana oli tavata tyhjässä luokkahuoneessa ja kirjoittaa ajatuksiaan ylös.

Matemaatikkojen tutkimuskohteena oli Liouvillen funktio, jonka keskiarvot liittyvät muun muassa alkulukujen jakautumiseen ja Riemannin hypoteesiin, yhteen matematiikan merkittävimmistä avoimista ongelmista.

— Tutkimme alun perin alkulukuihin läheisesti liittyvän Liouvillen funktion merkkivaihteluja, mutta pystyimmekin todistamaan paljon yleisemmän tuloksen, josta seurasi heti mielenkiintoisia lukuteorian kysymyksiä, Matomäki kertoo.

Ja siitä lumipallo vasta lähtikin pyörimään. Moni muukin matemaattinen ongelma on saanut vastauksen tai osavastauksen Matomäen ja Radziwillin työn ansiosta. 

Palkinnot ja arvostus

Matomäen ja Radziwillin työ on luonteeltaan puhdasta matematiikkaa. He ovat pureutuneet alkulukuihin ja multiplikatiivisten funktioiden käyttäytymiseen. Matomäen ja Radziwillin tulokset kertovat erityisesti, mitä tapahtuu, kun tarkastellaan mielivaltaisen suuria lukuja.

Alkulukuja hyödynnetään esimerkiksi koodaustyössä tietojen salaamiseen, ja luku­teorian teoreettisilla tuloksilla voi myöhemmin olla merkittäviä vaikutuksia esimerkiksi joka päivä käyttämiimme salattuihin verkkoyhteyksiin.

Alkulukuihin liittyvät ongelmat askarruttivat jo antiikin kreikkalaisia. Miltä tuntui ratkaista tuhansia vuosia vanha matemaattinen ongelma? Kaisa Matomäki sanoo, ettei olisi oikeastaan välittänyt julkisuudesta, mutta kollegoilta saatu tunnustus on tietenkin lämmittänyt mieltä.

— Arvostan kovasti saamiani palkintoja, mutta kun ne on myönnetty, löydöstä oli kulunut jo vähintään vuosi, ja siinä vaiheessa keskityinkin jo vireillä oleviin tutkimuskysymyksiin, Matomäki toteaa. 

Helpotuksen hetki

Matomäki ei erityisemmin haaveillut nuorena suurten matemaattisten arvoitusten ratkaisemisesta. 

— Ne vaikuttivat olevan jossakin kaukana minun saavuttamattomissani.

Vähitellen, työvoittojen mukana, tutkijan itsetunto kuitenkin kasvoi. Matomäki korostaa, että myös hyvällä yhteistyöllä on ollut osuutta asiaan. Yksin tutkija luovuttaa helpommin.

— En usko, että olisin ratkaissut tätä ongelmaa, jos en olisi eräässä konferenssissa sattunut juttelemaan Maksymin kanssa ja päätynyt aloittamaan yhteistyötä.

Kaisa Matomäen mukaan onnellinen helpotus valtaa mielen sillä sekunnilla, kun mieli ymmärtää löytäneensä ratkaisun. Tunne on voimakas, sillä ongelman parissa on voitu työskennellä vuosiakin.

— Tietysti tutkimme samaan aikaan hyvin monia erilaisia ongelmia. Jokaiseen projektiin keskitytään intensiivisesti silloin, kun on sen aika, Matomäki kuvaa.

Ei juhlakakkuja

Usein matemaatikon mieli työskentelee ongelman kimpussa silloinkin, kun hän ei itse ajattele sitä aktiivisesti. 

— Sain itse aikaisemmin paljon oivalluksia pyöräillessäni matkaa yliopiston ja kotini välillä.

Viime aikoina Matomäki on tehnyt töitä vain kotitoimistossaan. Koska työhuoneessa ei ole liitutaulua, hän kirjoittaa ajatuksiaan mielellään tavalliselle ruutupaperille ja lähettää sitten ne sähköpostitse työparilleen.

Työhuoneen ulkopuolella kolistelevat Matomäen kolme lasta. 

— Heidän kanssaan matemaattiset ongelmat kyllä unohtuvat täysin.

Perhepiirissä tutkimusvoittoja ei ole juuri juhlittu.

— Tulen maanviljelijäperheestä. En ole juuri yrittänyt selittää sukulaisilleni, mitä teen työkseni. Puolisoni on aiemmin toiminut matematiikan tutkijana ja ymmärtää, mikä merkitys tutkimuksellamme on. Kakkuja ei ole silti leivottu, en ole kaivannut juhlintaa. 

Ryhmätyö auttaa

Matti Lassas toivoisi, että matemaattisia ongelmia pyrittäisiin ratkaisemaan yhä enemmän useamman tieteenalan voimin. Esimerkiksi tähtitieteilijöillä ja matemaatikoilla on toisilleen paljon annettavaa.

— Monet matemaatikot tapaavat vain oman kapean alansa tutkijoita, eivätkä onnistu laajentamaan näkökulmaansa.

Yksinäisyys voi kuitenkin olla suoranainen surma matematiikalle.

— Eräät matematiikan suuntaukset ovat kadonneet kokonaan, kun kaikki on ratkaistu. Mitään selvitettävää ei ole jäänyt.

Sellaiseen tilanteeseen on kuitenkin monilla aloilla vielä pitkä matka. Vielä on ratkaisematta esimerkiksi Fields-mitalisti Steve Smalen vuonna 2000 julkaiseman 18 matemaattisen ongelman listan viimeinen kysymys: Onko ihmisen tai koneen älykkyydellä rajoja?

— Sen matemaattinen todistaminen on haaste, johon ei ole osattu vielä vastata.

Yksinkertainen kone

Matemaatikko Alan Turing (1912–1954) kehitti Turingin koneeksi nimetyn mallin vuonna 1936 määritelläkseen algoritmi-käsitteen. Turingin kone on teoreettinen malli tietokoneen toiminnalle ja algoritmisen ratkaisun mahdollisuuksien rajojen tarkkailuun.

Kone koostuu äärettömän pitkästä nauhasta, joka toimii koneen muistina, lukupäästä ja äärellisestä joukosta tiloja. Kone kykenee liikkumaan nauhalla oikealle ja vasemmalle, pysähtymään, lukemaan nauhan solun ja tulostamaan sen paikalle jonkin sallitun merkin.

Artikkeli on julkaistu Yliopisto-lehdessä 3/2021.